Espaço da matemática: Exponencial

Chama-se função exponencial a função ${\textstyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+^*}$ tal que ${\textstyle f(x) = a^x }$ em que ${\textstyle a\in\mathbb{R}}$ , ${\textstyle 0 < a \neq 1}$ . O número $a$ é chamado de base da função. A função exponencial ${\textstyle f(x) = a^x }$ pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se ${\textstyle a > 1 }$ , a função é crescente. Caso ${\textstyle 0 < a < 1 }$ a função é decrescente.

Definição formal da função

Caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n.

Exemplo :

${{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n},$

Esta definição implica as seguintes propriedades:

· $a^{n+m}=a^n a^m;$

· $a^{nm}=\left(a^n\right)^m.$

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

· $a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;$

· $a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad \forall a\neq 0,~~n\in\mathbb{N};$

· $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{N};$

· $a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{Z}~~m\in\mathbb{N}.$

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:

· $a^x = e^{\ln(a)x}.$

Propriedades da função exponencial

A função exponencial de base $f(x) = a^x$ ,

Existe 8 tipos de propriedades, isto é

$f(x) > 0$ para todo $x\in \mathbb{R}$ ;
$f(x)$ é função crescente se, e somente se, $a > 1$ ;
$f(x)$ é função decrescente se, e somente se, $0 < a < 1$ ;
$f(x)$ é injetora;
$f(x)$ é ilimitada superiormente;
$f(x)$ é contínua;
$f(x)$ é sobrejetora;
$f(x)$ é bijetora, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denotada $\log_a(x)$ .

Demonstração das propriedades

Propriedade 1

Mostraremos, primeiro, que $f(x) \neq 0$ para todo $x\in \mathbb{R}$ . Com efeito, notamos que $f(0) = 1 \neq 0$ . Suponhamos, por contradição, que $f(x) = a^x = 0$ para algum $x\neq 0$ . Mas, daí temos $0 = a^x a^{-x + 1} = a > 0$ , uma contradição. Concluímos que $f(x) \neq 0$ para todo $x\in \mathbb{R}$ .

Como consequência $f(x) > 0$ para todo $x\in \mathbb{R}$ , uma vez que $f(0) = a^0 = 1$ .

Propriedade 2

Sejam $x,y\in \mathbb{R}$ . Suponhamos, sem perda de generalidade, que $x < y$ . Tomamos, então, $p > 0\in\mathbb{R}$ tal que $y = x + p$ . Segue que $a^y - a^x = a^{x+p} - a^{x} = a^x(a^p - 1)$ . Pela propriedade 1, temos $a^x > 0$ . Logo, $a^x < a^y$ se, e somente se, $a^p > 1$ . Como $p > 0$ , se, e somente se, $a > 1$ . Concluímos que, $f(x) < f(y)$ se, e somente se, $a > 1$ .

Propriedade 3

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4

Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5

Seja $f(x) = a^x$ com $a > 1$ . Tomamos $d\in\mathbb{R}$ tal que $a = 1 + d$ . Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos $a^n > 1 + nd$ . Logo, dado qualquer $L > 0$ , se escolhemos $x$ como o menor inteiro maior que $\frac{L-1}{d}$ , temos $f(x) > L$ , i.e. $f(x)$ é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para $0 < a < 1$ .

Propriedade 6

Para qualquer $c\in\mathbb{R}$ , temos $f(c)$ está bem definida. Além disso, temos:

$\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{h\to 0} f(c+h) = \lim_{h\to 0} a^{c+h} = \lim_{h\to 0} a^c a^h = a^c \lim_{h\to 0} a^h$

Como, $\lim_{h\to 0} a^h = 1$ , seque que: $\lim_{x\to c} f(x) = f(c)$

Propriedade 7

Seja $y\in\mathbb{R}_+^*$ . Suponhamos que $a > 1$ . Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $a^{r_n}\in \left[y - \frac{1}{n},~y\right]$ . Pela completude dos números reais, temos que $r_n \to x$ quando $n \to \infty$ . Segue da continuidade de $f(x)$ (propriedade 6), que:

$a^x = \lim_{n\to \infty} a^{r_n} = y$

i.e., dado $y\in\mathbb{R}_+^*$ , existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $f(x) = a^x = y$ . A demonstração para $0 < a < 1$ segue raciocínio análogo.

Propriedade 8

Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

Agora vamos fazer uma atividade

1.(Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 ^{x² – 4} e g(x) = 4 ^{x² – 2x}, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2^x é:

a) ¼

b) 1

c) 8

d) 4

e) ½
2. (Uepg – PR) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)^x e g(x) = (5/4)^x, é correto afirmar.(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.

(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente

(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)

(08) f [g(0)] = f(1)

(16) f(– 1) + g(1) = 5
2

3.Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.

g(x) = (3k + 16)^x

4. Considerando que f(x) = 49^x, determine o valor de f(1,5).
Feito por :Mariana Dourado

Espaço da matemática

quarta-feira, 18 de novembro de 2015

Exponencial

Propriedades da função exponencial

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